Bertrand-Problem

In einen Kreis wird „zufällig“ eine Sehne gezeichnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie kürzer ist als die Seite des dem Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?

Sie können verschiedene Modellierungen wählen, um zufällig eine Sehne zeichnen zu lassen (jeweils unten links Anklicken). Dabei werden längere Sehnen blau, kürze Sehnen schwarz gezeichnet.
Klicken Sie auf Start / Stop oder in das Applet, um Sehnen in den Kreis zeichnen zu lassen.
Mit dem Schieberegler können Sie die Geschwindigkeit verändern.
Der Kreis hat jeweils den Radius 1, AB als einen Durchmesser und den Mittelpunkt M.
Das "zufällige" Zeichnen ist mit Hilfe des Java-Zufallsgenerators wie folgt realisiert. Dabei wird das Koordinatensystems mit M als Ursprung und AB als x-Achse verwendet:
Zufälliger Punkt auf Kreis: Wähle Winkel zufällig aus [0, 2*Pi), Dann hat der Punkt die Koordinaten.x = sin(Winkel), y = cos(Winkel).
Zufälliger Punkt im Kreis: Wähle x, y zufällig aus [-1, 1], teste, ob der Punkt P(x|y) im Kreis liegt, d.h. x² + y² <= 1
Zufälliger Punkt auf dem zu AB senkrechten Durchmesser d: Wähle y zufällig aus [-1, 1]. Dann liegt P auf d mit Abstand y vom oberen Endpunkt von d.

Interpretationen des zufälligen Zeichnens einer Sehne:

Punkt P zufällig auf Kreis, ergibt Sehne BP

Punkte P und Q zufällig auf Kreis, ergibt Sehne PQ
---- Längere Sehnen nicht zeichnen

Punkt P zufällig auf Durchmesser d; Lot von P auf d ergibt Sehne

Punkt P zufällig im Kreis, BP ergibt Sehne

Punkte P und Q zufällig im Kreis, PQ ergibt Sehne

Punkt P zufällig im Kreis, Lot von P auf AB ergibt Sehne

Punkt P zufällig auf Kreis, Lot von P auf AB ergibt Sehne

Punkt P zufällig im Kreis: Lot von P auf PM ergibt Sehne
---- Längere Sehnen nicht zeichnen

Auch als: Maple MWS , Maple HTML

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