Vorlesung Fourieranalysis

Nummer: 011396A (SS17), Modulbeschreibung im Modulhandbuch

Aktuelle Mitteilungen

Keine.

Übungsblätter

Materialien

  • Eine Kurzzusammenfassung zu den Lp-Räumen finden Sie hier.
  • Eine Kurzzusammenfassung zu komplexen Maßen finden Sie hier.

Organisatorisches

Die Veranstaltung umfasst 2 Wochenstunden Vorlesung und eine Wochenstunde Übung (2 V + 1 Ü) und ist der erste Teil einer zweiteiligen Veranstaltung. Teil II wird im Wintersemester 2017/2018 angeboten; beide Veranstaltungen zusammen bilden ein Modul mit 9 Leistungspunkten (4 V + 2 Ü).

  • Vorlesung: Dr. Albrecht Seelmann, Mo 12-14, Raum M 911.
  • Übung: Dr. Albrecht Seelmann, Mi 12-14 alle zwei Wochen, Raum M 919/921.

Zulassungsvorausetzung zur Prüfung ist das erfolgreiche Bearbeiten der Übungsaufgaben. Dazu müssen in jedem Semester jeweils mindestens 50% der Gesamtpunkte erreicht werden. Die Abgabe der Lösungen erfolgt jeweils zum vereinbarten Zeitpunkt in der Vorlesung.

Voraussetzungen

Die Inhalte der Vorlesungen Analysis I,II und und Lineare Algebra I,II, sowie die Grundlagen der Lebesgue-Integrationstheorie aus Analysis III werden vorausgesetzt.

Die Vorlesung hat insbesondere Bezüge zu den Vorlesungen Funktionalanalysis, Funktionentheorie und Stochastik II. Das bedeutet, dass der vorherige Besuch einer dieser Vorlesungen den Zugang zu der Fourieranalysis erleichtert. Ebenso wird man beim hören der Vorlesungen Funktionalanalysis, Funktionentheorie und Stochastik II vom vorherigen Besuch der Vorlesung Fourieranalysis profitieren.

Inhalte

Die klassische Fourieranalysis beschäftigt sich mit dem Problem, wann eine periodische reellwertige Funktion in einer reellen Veränderlichen als Überlagerung von Sinus- und Kosinusschwingungen dargestellt werden kann. Im Blickpunkt steht dabei auch wie sich bestimmte Eigenschaften der Funktion, wie z.B. Differenzierbarkeit, in dieser Darstellung wiederspiegeln. Für nicht-periodische Funktionen liefert die sogenannte Fouriertransformation ein kontinuierliches Analogon mit verwandten Fragestellungen.

Die folgenden Themenbereiche stehen im Blickpunkt:

Fourierreihen:
  • Diracfolgen und Summierbarkeit
  • Abfallverhalten von Fourierkoeffizienten
  • Die Fourierreihe für quadratintegrierbare Funktionen
  • Absolut konvergente Fourierreihen
  • Punktweise Konvergenz und das Gibbsche Phänomen
  • Konjugiert harmonische Funktionen, Hilberttransformation und Hardyräume analytischer Funktionen
  • Interpolation und die Sätze von M. Riesz und Hausdorff-Young
  • Lückenreihen
Fouriertransformation:
  • Fouriertransformation für integrierbare Funktionen und die Fourier-Stieltjes-Transformation
  • Poissonsche Summenformel
  • Die Sätze von Plancherel und Hausdorff-Young
  • Schwartzfunktionen und temperierte Distributionen
  • Unschärferelation
  • Fastperiodische Funktionen
  • Die Sätze von Paley-Wiener

Literatur:

Y. Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, 2004
C. Muscalu, W. Schlag: Classical and Multilinear Harmonic Analysis, Vol. 1, 2013
A. Zygmund: Trigonometric Series. Vol. I,II, Cambridge University Press, 2002