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TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
AG Biomathematik
Vogelpothsweg 87
44227 Dortmund

SEKRETARIAT

Annegret Ley
Raum M 635
Telefon (0231) 755-3053
Telefax (0231) 755-5942

Proseminar Analysis SS 2012

Thema des Seminars sind eindimensionale Variationsprobleme. Hierbei geht es um die Optmierung von Funktionalen in bestimmten Klassen von Funktionen. Variationsprobleme tauchen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Lebenswissenschaften auf. Berühmte Beispiele sind das isoperimetrische Problem, die Suche nach kürzesten Verbindungen, das Brachystochronenproblem und die Minimerung von Wirkungsfuntionalen in der klassischen Mechanik. Optimalitätsbedingungen nehmen dabei typischerweise die Form von partiellen Differentialgleichungen an. Im Seminar sollen die grundlegende Theorie behandelt und konkrete Beispiele diskutiert werden.

Teilnahmevoraussetzungen

Bestandene Modulprüfungen Analysis 1 und 2 sowie Erreichen der Studienleistung Analysis 3.

Vorbesprechung

Die Vorbesprechung findet am Donnerstag 19. Januar 2012 um 12:15 in Raum M611 statt.

Bachelorseminar

Es können auch Vorträge als Bachelorseminar anerkannt werden. Dazu muss das Modul Analysis 3 abgeschlossen sein und bereits ein Proseminar erfolgreich absolviert worden sein. Weiterhin werden entsprechende Vorträge auf Stoff des vierten Semesters aufbauen. Genaueres dazu wird bei der Vorbesprechung mitgeteilt.

Mögliche Themen (Genaueres dazu bei der Vorbesprechung)

Erste Variation und Euler-Lagrange Gleichungen, Regularität von Lösungen, Jacobi-Felder und konjugierte Punkte, Geodätische, der Satz von Nöther, das Zweikörperproblem, das isoperimetrische Problem, Hamilton-Jacobi Gleichungen, die Brachystrochone, das Plateausche Problem.

Themenvergabe

Die Themen werden auf der Vorbesprechung kurz vorgestellt. Die entsprechenden Quellen werden in der Bibliothek zur Verfügung gestellt (siehe Fach "Semesterliteratur Röger").
Für die verbindliche Themenvergabe tragen Sie sich bitte im Studierendenportal für Ihren Wunschvortrag ein. Die Anmeldung ist von Do 26. Januar 12:00 bis Do 2. Februar 12:00 freigeschaltet.

Literatur

  • [1] Giaquinta/Hildebrandt: Calculus of Variations I
  • [2] Jost/Li-Jost: Calculus of Variations
  • [3] Evans: Partial Differential Equations
  • [4] Dacorogna: Introduction to the Calculus of Variations
  • [5] Kielhöfer: Variationsrechnung
  • [6] Hildebrandt/Tromba: Kugel, Kreis und Seifenblasen: optimale Formen in Geometrie und Natur

Termine

Das Proseminar findet donnerstags von 14:15-15:45 in Raum M611 statt. Beginn der Veranstaltung nach Vereinbarung.

Vorträge


26.04. Erste Variation, schwache Euler-Gleichung, Beispiel Dirichlet Integral. Maletzki, Katrin [1] S. 11-19, Bsp. 1,2,3.
03.05. Fundamentallemma der Variationsrechnung, Euler-Lagrange Gleichung, Randbedingungen, Beispiele. Mrozek, Patrick [1] S. 20-35 Bsp. 5,6,7.
10.05. Regularität und Bemerkungen zur Existenz von Minimierern. Battaglia, Giuseppe [2] §1.2, [1] S. 43-35.
24.05. Zweite Variation, konjugierte Punkte und Jacobi-Felder. Klegrewe, Hannes [2] §1.3.
Symmetrien und der Satz von Nöther. [2] §1.5, [2] Bsp. 1 S.189-192.
Geodätische und zugehörge Euler-Lagrange Gleichungen. [2], §2.1
Wirkungsfunktionale und Hamilton-Jacobi Theorie. (Evtl 2 Vorträge zu vergeben.) [2] §4.1, [3] S.121-123.
31.05. Das Brachystochronenproblem. Matthaei, Alexander [1] S.367-372.
21.06. Minimalflächen. Kocabas, Koray [4] §5.3.
28.06. Die isoperimetrische Ungleichung. Cöster, Christian [4] §6.3.