MAT-727

Die Ausbreitung von Wellen ist in den meisten Fällen (in der Natur und in Anwendungen) dispersiv. Dispersion heißt, dass Wellen sich mit unterschiedlichen Wellenlängen und Geschwindigkeiten ausbreiten.

Für lineare Wellen definieren wir die Dispersionsrelation und Gruppengeschwindigkeit. Wir besprechen die Asymptotik der Lösung für lange Zeiten, die Energieausbreitung und lokale Glättungseigenschaft von Dispersion. Ein wichtiger Spezialfall von dispersiven Wellen sind Wellen in periodischen Strukturen (z.B. Licht in photonischen Kristallen). In diesem Kontext definieren wir die Bandstruktur und Bloch-Wellen. Wir zeigen die Vollständigkeit von Bloch-Wellen und definieren die Bloch-Transformation.

Nichtlinearität spielt eine wichtige Rolle in vielen Anwendungen, wie Flachwasserwellen oder nichtlineare Optik. Wir besprechen die Herleitung von asymptotischen Modellen, wie die Korteweg-de Vries Gleichung für Waserwellenpakete oder die nichtlineare Schrödinger Gleichung für optische Wellenpakete.

Manche wichtige nichtlineare dispersive partielle Differentialgleichungen sind komplett integrierbar (lösbar) mit Hilfe der Inverse-Scattering-Transformation (IST). Solche Gleichungen haben dann sehr spezielle Lösungen, so genannte Solitone. Wir besprechen die IST für die Korteweg-de Vries Gleichung.

Die Studierenden vertiefen ihre Kenntnisse von partiellen Differentialgleichungen, konkret im Gebiet von dispersiven Gleichungen. Sie lernen vor allem die Analysis solcher Gleichungen und qualitative Eigenschaften ihrer Lösungen.

Das Modul kann in zwei verschiedenen Formen zum Abschluss gebracht werden:

1. als unbenotetes Modul ohne Modulprüfung.
2. als benotetes Modul mit Modulprüfung.

Zulassungsvoraussetzung für die Modulprüfung ist die Erbringung folgender Studienleistung: Regelmäßige erfolgreiche Bearbeitung der Übungsaufgaben und/oder Mitarbeit in den Übungen. Dazu kann auch eine Anwesenheitspflicht in den Übungen gehören. Details werden durch die jeweilige Dozentin / den jeweiligen Dozenten in der Veranstaltungsankündigung bekannt gemacht.

Für den Nachweis des erfolgreichen Abschlusses bei Wahl als unbenotetes Modul sind i.d.R. zur Studienleistung äquivalente Leistungen zu erbringen. Details werden durch die jeweilige Dozentin / den jeweiligen Dozenten in der Veranstaltungsankündigung bekannt gemacht.

Modulprüfung: mündliche Prüfung (ca. 30 Minuten). In Ausnahmefällen Klausur (120-180 Min.).

Kenntnisse der Inhalte der Bezugsmodule Analysis I-III und Lineare Algebra I-II werden vorausgesetzt.

1. Wahlpflichtmodul für Master Mathematik, Master Technomathematik, Master Wirtschaftsmathematik
2. Angewandte Mathematik
3. Wirtschaftsmathematisches Modul