\(\newcommand{\eq}[1]{\begin{array}{rrl@{\quad}l}#1\end{array}} \newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\LR}{\Leftrightarrow}\)

Bruchgleichungen

Lernziel: Auflösung von Gleichungen, bei denen die Unbekannte "$x$" in Brüchen vorkommt.

Bruchgleichungen, bei denen '$x$' nur im Zähler vorkommt

Solche Gleichungen werden wie lineare oder quadratische Gleichungen behandelt

$\eq{ &\D\frac{3x-4}{2}&=x+2&|\cdot2\\ \LR & 3x-4&=2x+4&|-2x+4\\ \LR & x=8 }$

Beispiel 1

Für alle anderen Typen von Bruchgleichungen wichtig:

Zunächst den Definitionsbereich feststellen - der Nenner darf nicht Null werden.

Bruchgleichungen mit einem '$x$' im Nenner

Mit dem Nenner multiplizieren und die entstehende lineare Gleichung lösen.

$\displaystyle \frac{4}{x-5}=2$.

Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{ 5 \}$.

$\eq{ &\D\frac{4}{x-5}&=2&|\cdot(x-5)\\ \Leftrightarrow &4&=2\cdot(x-5)&|\,\text{ausmultiplizieren}\\ \Leftrightarrow &4&=2x-10&|+10 \\ \Leftrightarrow&14&=2x&|: 2\text{, Seiten vertauschen}\\ \Leftrightarrow&x&=7&\\ }$

Da $x=7$ im Definitionsbereich liegt, ist $\mathbb{L}=\{ 7 \}$.

Beispiel 1 selbst rechnen

Bruchgleichungen mit mehreren '$x$' im Nennern und Zählern

① Zunächst stellt man den Definitionsbereich fest.
② Dann wird mit den Nennern multipliziert und sortiert.
③ Es entsteht eine lineare, quadratische oder allgemeinere Gleichung.

$\D \frac{4}{x-2}=\frac{2}{x-4}$.

① Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{ 2,4 \}$.

② und ③ Multiplikation mit den Nennern:

$\eq{ &\D \frac{4}{x-2} &\D=\frac{2}{x-4}& |\cdot(x-2)(x-4)\\ \LR& 4\cdot(x-4)&=2\cdot(x-2)&|\,\text{ausmultiplizieren}\\ \LR& 4x-16&=2x-4&|-2x+16\\ \LR& 2x&=12&|:2\\ \LR& x&=6&}$.

Da $x=6$ im Definitionsbereich liegt, ist $\mathbb{L}=\{ 6 \}$.

Beispiel 1 selbst rechnen

Manchmal entstehen dabei auch Gleichungen höherer Ordnung.

$\displaystyle x-2=\frac{2}{x-3}$.

① Der Definitionsbereich ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{ 3 \}$.

$\eq{ &\D x-2&=\D\frac{2}{x-3}&|\,\text{multiplizieren mit dem Nenner}\\ \D \LR &(x-2)\cdot(x-3)&=2&|\,\text{ausmultiplizieren}\\ \LR &x^2-5x+6&=2&|-2\\ \LR &x^2-5x+4&=0&}$

Diese quadratische Gleichung löst man mit dem Satz von Vieta oder der $p$-$q$-Formel.

$\eq{\LR& (x-4)\cdot(x-1)&=0&\\ \LR & x=4 & \text{oder} \quad x=1}$

Da beides im Definitionsbereich liegt, ist $\mathbb{L}=\{ 1,4 \}$.

Beispiel 1 selbst rechnen