\( \newcommand{\eq}[1]{\begin{array}{rrl@{\quad}l}#1\end{array}} \newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\LR}{\Leftrightarrow} \)

Gleichungen mit Potenzen

Lernziel ist das Auflösen von Gleichungen, die Potenzen oder eine oder mehrere Wurzeln enthalten.

Immer soll nach der Unbekannten '$x$' aufgelöst werden.

Ein $x$ im Exponenten

Grundtechnik: den Term, der $x$ enhält auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren.

Dann entweder logarithmieren oder - falls die andere Seite als Potenz mit derselben Grundzahl geschrieben werden kann - Exponenten vergleichen.

$3^{x-2}=9$

Da $9$ eine Potenz von $3$ ist, kann man Exponenten vergleichen:

$\eq{ &3^{x-2}&=&9&\quad |9=3^2\\ \LR &3^{x-2}&=&3^2 \\ \LR &x-2&=&2\\ \LR &x&=&4 }$

$3^{x-2}=8$

Da $3$ und $8$ keine Potenzen einer gemeinsamen Grundzahl sind, logarithmiert man:

$\eq{ &3^{x-2}&=&8\\ \LR &\ln 3^{x-2}&=&\ln 8&\quad |\ln a^b=b\ln a\\ \LR &(x-2)\ln 3&=&\ln 8 \\ \LR &x-2&=&\D\frac{\ln 8}{\ln 3}\\ \LR &x&=&\D\frac{\ln 8}{\ln 3}+2 }$

Beispiel 1 Beispiel 2 Selbst rechnen

Mehrere $x$ im Exponenten

Man versucht entweder, alles in zwei Terme mit gleicher Basis umzuschreiben und dann die Exponenten zu vergleichen, oder man versucht zu logarithmieren.

$4^{4x}=8^{2x-2}$

Da sowohl $4$ als auch $8$ Potenzen von $2$ sind, kann man auf die gemeinsame Basis $2$ umschreiben:

$\eq{ &4^{4x}&=&8^{2x-2}\\ \LR &\Big(2^2\Big)^{4x}&=&\Big(2^3\Big)^{2x-2}\\ \LR &2^{8x}&=&2^{6x-6}\\ \LR &8x&=&6x-6 \\ \LR &2x&=&-6 \\ \LR &x&=&-3 }$

$2^{x+1}=e^x$

Da es keine gemeinsame Basis gibt, kann man nur logarithmieren:

$\eq{ &2^{x+1}&=&e^x\\ \LR &(x+1)\ln 2&=&1\\ \LR &x+1&=&\D \frac{1}{\ln 2} \\ \LR &x&=&\D\frac{1}{\ln 2}-1}$

Beispiel 1 Selbst rechnen

Wurzelgleichungen

Man versucht, die Wurzeln durch Quadrieren zu beseitigen und die dabei entstehende Gleichung zu lösen.

Da Quadrieren keine Äquvalenzumformung ist, muss man zwingend eine Probe machen.

$\eq{&5\cdot\sqrt{x+1}&=&x+5&\quad\text{Quadrieren}\\ \Rightarrow &25(x+1)&=&x^2+10x+25&\quad \text{Sortieren}\\ \LR &x^2-15x&=&0\\ \LR &x(x-15)&=&0}$

Mögliche Lösungen sind also $x=0$ und $x=15$, für beide geht die Probe auf.

$\eq{&\sqrt{x+6}&=&x-6&\quad\text{Quadrieren}\\ \Rightarrow &x+6&=&x^2-12x+36&\quad\text{Sortieren}\\ \LR &x^2-13x+30&=&0&\quad\text{Faktorisieren}\\ \LR &(x-3)(x-10)&=&0\\ \LR &x&=&3&\quad\text{oder}\quad x=10}$

Probe:

$x=3$: Einsetzen ergibt $\sqrt{3+6}=3-6$. Das ist falsch, da die Wurzel positiv ist.

$x=10$: Einsetzen ergibt $\sqrt{10+6}=10-6$ $\LR \sqrt{16}=4$. ✓

Damit ist $\mathbb{L}=\{ 10 \}$

Beispiel 1 Selbst rechnen