\( \newcommand{\eq}[1]{\begin{array}{rrl@{\quad}l}#1\end{array}} \newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\LR}{\Leftrightarrow} \)

Logarithmen

Hier wird der Begriff des Logarithmus definiert

Definition

Der Logarithmus ist eine Umkehrung der Potenzierung:

ist $a^b=c$, so ist $b=\log_a c$, d.h. $b$ der Logarithmus von $c$ zur Basis $a$.

Schreibt man nur $\log$, so gilt in der Rechnung eine feste Basis, auf deren genauen Wert es nicht ankommt.

Der Logarithmus mit der Eulerschen Zahl $e=2,718\ldots$ als Basis heißt natürlicher Logarithmus und wird mit $\ln$ bezeichnet: $\log_e x=\ln x$.

Zwei weitere "besondere" Logarithmen sind der binäre oder Zweierlogarithmus $\text{lb}\, x$ zur Basis 2 und der dekadische Logarithmus $\text{ld}\, x$ zur Basis 10.

Wegen $a^0=1$ ist stets $\log_a 1=0$.

Immer ist $\log_a a=1$ und $\log_a a^b=b$.

Insbesondere ist $\ln e=1$.

Logarithmen bestimmen

$\log_5 25=2$, denn $5^2=25$ ist.

$\log_2 \dfrac{1}{8}=-3$, denn $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$

$\log_{a^3} a^{12}=4$, denn $(a^3)^4=a^{12}$

Beispiel 1 Beispiel 2 Selbst rechnen Selbst rechnen Selbst rechnen

Basis bestimmen

Für $\log_x 100=2$ gilt $x=10$, weil $10^2=100$ ist.

Für $\log_x a^6=-3$ gilt $\displaystyle x=\frac{1}{a^2}=a^{-2}$, weil $(a^{-2})^{-3}=a^6$ ist.

Beispiel 1 Beispiel 2