Termumformungen

Distributivgesetz

Lernziele: Klammern in arithemetischen Ausdrücken auflösen und setzen.

Das Distributivgesetz besagt $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Es wird zum Auflösen von Klammern und zur Klammerung von Ausdrücken verwendet.

Auflösen von Klammern: Vorzeichen

Steht ein Pluszeichen "$+$" vor der Klammer, kann man sie einfach weglassen:

$+(4x)=4x$

$2+(3+5)=2+3+5$

Steht ein Minuszeichen "$-$" vor der Klammer, so muss man in der Klammer die Vorzeichen umdrehen:

$-(4x)=-4x$

$2-(3+5)=2-3-5$

$2-(3-5)=2-3+5$

Beispiel 1 Beispiel 2

Distributivgesetz

Eine Klammer wird mit einer Zahl multipliziert, indem jedes Element der Klammer mit dieser Zahl multipliziert wird:

$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$,

$3\cdot(2+4)=3\cdot 2+3\cdot 4$.

Werden zwei Klammerausdrücke miteinander multipliziert, so wird jeder Teil der ersten mit jedem Teil der zweiten Klammer multipliziert, und die Ergebnisse werden addiert. Dabei muss man die Regeln "Plus mal Minus=Minus" und "Minus mal Minus=Plus" beachten:

$(3-5)\cdot(2-6)=3\cdot2-3\cdot 6-5\cdot2+5\cdot6$,

$\eq{&&(a-b-c)\cdot(a+2)\\ &=& a\cdot(a+2)-b\cdot(a+2)-c\cdot(a+2)\\ &=&a^2+2a \quad -ba-2b\quad -ca-2c}$

Beispiel 1 Beispiel 2 Beispiel 3 Selbst rechnen

Ausklammern

Beim Ausklammern wird das Distributivgesetz in der anderen Richtung angewandt: aus einer Summe (oder Differenz) werden gemeinsame Faktoren herausgezogen.

$\eq{&&15-18&\quad\text{beide Zahlen sind durch $3$ teilbar}\\ &=&3\cdot 5-3\cdot 6\\ &=&3(5-6)}$

$\eq{&&a^2b+ab^2&\quad\text{beide Terme enthalten $ab$}\\ &=&ab\cdot a+ab\cdot b\\ &=&ab(a+b)}$.

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