Seminar Analysis und PDG WS17/18

Themenvergabe

Die Vorbesprechung hat bereits stattgefunden. Die zu den jeweiligen Themen angegebenen Quellen geben Ihnen einen Einblick in das Thema. In allen Fällen ist noch eine genauere Absprache des Themas erforderlich (die Quellen sind in der Regel zu umfangreich). Melden Sie sich bei Interesse an einem bestimmten Thema bitte per email bei mir und vereinbaren Sie einen Termin zur weiteren Absprache.

Ablauf des Seminars.

Beachten Sie bitte einige allgemeine Hinweise zu Seminaren.

Vortragsthemen

  • Dirichletsches Prinzip und Poincarés méthode de balayage. Existenz harmonischer Funktionen mit vorgegebenen Randdaten mittels sukzessiver harmonischer Ersetzung auf Bällen. [Hild05]
  • Mountain pass Theorem. Existenz kritischer Punkte von Funktionalen. [Evan10] p.501
  • Konvergenz der Finite Elemente Methode. Alternativer Beweis von Lax-Milgram mit Galerkin-Ansatz. Einführung Finite Elemente Methode und Nachweis der Konvergenz. [AtBM14], p71-73, p.285-295
  • Starke Maximumprinzipien für nichtlineare PDG. Insbesondere `Compact support principle'. [PuSe04].
  • Ausbreitung von Schockwellen. [Lax72]
  • Brunn-Minkowski inequality. (Sec 3,4 [Gard02]) (vergeben)
  • Rearrangement inequalities, [LiLo10, Ch. 3]
  • Direkte Methode der Variationsrechnung. Unterhalbstetigkeit, Koerzivität, schwache Kompaktheit. Insbesondere Funktionale vom Typ des Flächenfunktionals von Graphen. [Freh], p.7-16.

Die folgenden Themen eignen sich besonders als Vorbereitung auf eine Bachelorarbeit:

  • Gradientenabschätzung und Liouville Satz für eine nichtlineare Poisson-Gleichung. [Modi85]
  • Variational Models for Phase Transitions, an Approach via Gamma-Convergence. [Albe98] (vergeben)
  • Motion by Mean Curvature as the Singular Limit of Ginzburg-Landau Dynamics. [BrKo91]
  • Optimaler Massentransport. [Ambr00], Kapitel 1 und Teile von Kapitel 2,3*
  • Die isoperimetrische Ungleichung. [Daco09], S.182-189
  • Singular perturbations as a selection criterion for periodic minimizing sequences. [Muel93]
  • Kohn-Otto Technik für Vergröberungsraten, und Anwendungen. [Pego05], Sec. 4.1 -4.3
  • Das Mullins-Sekerka Problem als Gradientenfluss. Formulierung von Mullins-Sekerka als freies Randwertproblem, Einführung des $H^{-1}$-Skalarprodukts und Interpretation von MS als Gradientenfluss. [DaPe05],[Dai05] p.45-62

Literatur

  • [Albe98] Alberti, G., Variational Models for Phase Transitions, an Approach via Gamma-Convergence., (1998)
  • [Ambr00] Ambrosio, L., Lecture Notes on Optimal Transport Problems, (2000)
  • [AtBM14] Attouch, H., Buttazzo, G. and Michaille, Gé., Variational analysis in Sobolev and BV spaces,(2014).
  • [BrKo91] Bronsard, L., Kohn, R., Motion by Mean Curvature as the Singular Limit of Ginzburg-Landau Dynanamics., Journal of Differential Equations 90, 211-237 (1991).
  • [Daco09] Dacorogna, B., Introduction to the calculus of variations, Imperial College Press, 2009.
  • [Dai05] Dai, S., Universal bounds on coarsening rates for some models of phase transitions. PhD thesis.
  • [DaPe05] Dai, S. and Pego, R., Universal Bounds on Coarsening Rates for Mean-Field Models of Phase Transitions, SIAM Journal on Mathematical Analysis 37 (2) pp. 347-371, (2005).
  • [Evan10] Evans, L. C., Partial differential equations, Providence, RI, (2010).
  • [Freh] Frehse, J., Lecture notes on direct methods and regularity in the calculus of variations. Skript.
  • [Gard02] R. J. Gardner, The Brunn-Minkowski inequality, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 355-405.
  • [Hild05] Hildebrandt, S., On Dirichlet's principle and Poincaré's méthode de balayage, Math. Nachr. 278 (1-2) pp. 141-144, (2005).
  • [P. Lax] Lax, P., The formation and decay of shock waves, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, (1972).
  • [LiLo10] Lieb, E. and Loss, M., Analysis, AMS.
  • [Modi85] Modica, L., A gradient bound and a Liouville theorem for nonlinear Poisson equations, Comm. Pure Appl. Math., 38 (1985).
  • [Muel93] Müller, S., Singular perturbations as a selection criterion for periodic minimizing sequences, Calc. Var. PDE 1, 169-204 (1993)
  • [Pego05] Pego, B., Lectures on dynamics in models of coarsening and coagulation.
  • [PuSe04] Pucci, P. and Serrin, J., The strong maximum principle revisited, J. Differential Equations 196 (1) pp. 1-66, (2004).
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